http://io9.com/5825781/the-birthday-paradox" target="_blank">• The Birthday Paradox
Сколько человек нужно собрать, чтобы, по меньшей мере, у двоих оказался один и тот же день рождения? Оказывается, 23 человека обеспечивают 50-процентную вероятность такого совпадения. А для того, чтобы она возросла до 99-ти процентов, достаточно небольшой толпы в 57 человек. Это притом, что в году по-прежнему 365 дней. Скажете, парадокс?
Предположим, сегодня ваш день рождения (для краткости в дальнейшем мы будем обозначать его аббревиатурой ДР). Вы устроили вечеринку, пригласили гостей, и, по чистой случайности, их оказалось 22 человека. Если вы прочли предыдущий абзац, то можете решить, что, с вероятностью фифти-фифти, кто-то из сидящих с вами за одним столом сегодня празднует не только ваш, но и свой собственный ДР. Логично? Как бы не так!
Парадокс «день рождения» решается не так. По правде говоря, это вообще никакой не парадокс.
Когда мы пытаемся высчитать вероятность совпадения ДР у людей в определённой группе, то, как правило, думаем об одной конкретной дате из 365 возможных. Скорее всего, о дате нашего собственного рождения. И рассуждаем следующим образом: люди рождаются в этот день так же часто, как и в любой другой, а значит для того, чтобы получить реальный шанс совпадения, нужно зазвать на вечеринку 365 человек.
Вся хитрость в том, что мы не обещали вам найти ещё одного человека, который родился в один день именно с вами. Речь шла о том, что из всех присутствующих на вашем празднике с вероятностью 50 процентов могут найтись двое, ДР которых совпадают. А это всё меняет, хотя сразу, может, этого и не поймёшь.
Самый лучший способ понять этот парадокс — подсчитывать не вероятность совпадения, а, наоборот, вероятность не-совпадения ДР двух человек.
Я, скажем, родился прямо в Новый год, то есть первого января. Кому охота в этот день тащиться в гости? Никому. Я с горя отправляюсь в парк, сажусь на скамейку и думаю о том, как же из стольких возможных вариантов меня угораздило родиться именно сегодня? И, поверьте, буду рад любому прохожему, который составит мне компанию в этот злополучный День рождения/Новый год.
Когда такой прохожий найдётся (а он обязательно найдётся), шансы, что он, так же как и я, появился на свет первого января, будут равны 365 к одному. (Вообще-то, скорее всего, он окажется полицейским, но мы не собираемся сейчас развивать эту мысль).
Стало быть, вероятность, что мы с ним родились в разные дни, составляет 364/365. Переводим эту дробь в десятичную, и получаем 0,99726 вероятности, что у нас с ним разные ДР. Неплохие, прямо скажем, шансы.
Тут по всем законам драматургии самое время появиться третьему действующему лицу. Думаю, это будет какой-нибудь сознательный гражданин, который решит проверить, не загнулся ли я, часом, от алкогольного отравления. То есть на скамейке нас уже трое, потому что первый гость уже изложил во всех подробностях свои семейные проблемы и теперь храпит рядом, мешая мне сосредоточится на праздничных расчётах. Ну и каковы теперь шансы, что ни у кого из нас троих ДР не совпадают?
Как мы уже выяснили, вероятность того, что мой ДР не совпадёт с ДР того типа, который заснул, составляет 0,99726. Вероятность, что ДР присоединившегося к нам доброго самаритянина не совпадёт с моим, тоже будет 0,99726. Ну и, соответственно, вероятность, что два моих новых знакомых не родились в один день, будет всё той же — 0,99726.
Теперь сосчитаем нашу общую вероятность несовпадения. Для этого перемножим все наши шансы: 0,99726 x 0,99726 x 0,99726 и получим 0,99180. То есть, вероятность определяется количеством пар, которые можно составить, в нашем случае, из трёх человек.
Теперь подсчитайте, сколько разных пар можно составить из 23-х человек? Правильно, 253. Поэтому шанс, что между ними не найдётся ни одной пары с одинаковыми ДР, составляет 0,99726253. После возведения 0,99726 в 253-ю степень получаем 0,4994881275828. То есть, проще говоря, почти пятьдесят процентов вероятности. Что и требовалось доказать.
Поэтому даже в небольшой группе людей — в школьном классе, например, так велика вероятность того, что, по крайней мере, двое из них празднуют дни рождения одновременно.
Но только не со мной.
Перевод: http://mixednews.ru/archives/author/sveta-gogol" target="_blank">mixednews
Свежие комментарии